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Unit 70 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🛩️ Geraden und Ebenen

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Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(−1 | 3 | 2), B(−3 | 2 | 4) und C(−1 | 1 | 1).

Gerade g: X = (−3 | 0 | 1) + r · (0 | 0 | −2); Punkt Q(−1 | 4 | 0)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(1 | 3 | −1), B(1 | 2 | 0) und C(3 | 4 | −3).

Gerade g: X = (5 | 5 | −2) + r · (1 | 1 | 0); Punkt Q(4 | −1 | 1)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) a = 5, b = −2, c = 4, d = −3 (oder ein Vielfaches)
    AB = (−2 | −1 | 2), AC = (0 | −2 | −1) · Normalenvektor n = AB × AC = (5 | −2 | 4) · A einsetzen: d = n · A = −3 · E: 5x₁ − 2x₂ + 4x₃ = −3
  2. b) −0,75
    x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = −3 · x₃ = −0,75
  3. c) x₁ = −3, x₂ = 0, x₃ = 3
    g in E einsetzen: 5·(−3 + 0r) + −2·(0 + 0r) + 4·(1 − 2r) = −3 · −8r = 8 ⇒ r = −1 · S(−3 | 0 | 3)
  4. d) 1,49
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−13 − −3| / √45 ≈ 1,49

Aufgabe 2

  1. a) a = 1, b = 2, c = 2, d = 5 (oder ein Vielfaches)
    AB = (0 | −1 | 1), AC = (2 | 1 | −2) · Normalenvektor n = AB × AC = (1 | 2 | 2) · A einsetzen: d = n · A = 5 · E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5
  2. b) 2,5
    x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 5 · x₃ = 2,5
  3. c) x₁ = 3, x₂ = 3, x₃ = −2
    g in E einsetzen: 1·(5 + 1r) + 2·(5 + 1r) + 2·(−2 + 0r) = 5 · 3r = −6 ⇒ r = −2 · S(3 | 3 | −2)
  4. d) 0,33
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |4 − 5| / √9 ≈ 0,33