Klataza 🧮 Math
Unit 70 · Ganze Aufgaben 5 und 6
🛩️ Geraden und Ebenen
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Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand
Die Ebene E enthält die Punkte A(−2 | 3 | −2), B(−4 | 1 | −3) und C(−2 | 2 | −1).
Gerade g: X = (−3 | 2 | −6) + r · (1 | 0 | −2); Punkt Q(−1 | 0 | 0)
- a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
- b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
- c) Schnittpunkt S von g und E?
- d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?
Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand
Die Ebene E enthält die Punkte A(−1 | 2 | 0), B(−3 | 4 | 0) und C(1 | 4 | −1).
Gerade g: X = (−1 | 4 | 3) + r · (0 | −1 | 2); Punkt Q(4 | 2 | 2)
- a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
- b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
- c) Schnittpunkt S von g und E?
- d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) a = 3, b = −2, c = −2, d = −8 (oder ein Vielfaches)
AB = (−2 | −2 | −1), AC = (0 | −1 | 1) · Normalenvektor n = AB × AC = (−3 | 2 | 2) → gekürzt (3 | −2 | −2) · A einsetzen: d = n · A = −8 · E: 3x₁ − 2x₂ − 2x₃ = −8 - b) 4
x₁ = x₂ = 0: −2x₃ = −8 · x₃ = 4 - c) x₁ = −4, x₂ = 2, x₃ = −4
g in E einsetzen: 3·(−3 + 1r) + −2·(2 + 0r) + −2·(−6 − 2r) = −8 · 7r = −7 ⇒ r = −1 · S(−4 | 2 | −4) - d) 1,21
d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−3 − −8| / √17 ≈ 1,21
Aufgabe 2
- a) a = 1, b = 1, c = 4, d = 1 (oder ein Vielfaches)
AB = (−2 | 2 | 0), AC = (2 | 2 | −1) · Normalenvektor n = AB × AC = (−2 | −2 | −8) → gekürzt (1 | 1 | 4) · A einsetzen: d = n · A = 1 · E: x₁ + x₂ + 4x₃ = 1 - b) 0,25
x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = 1 · x₃ = 0,25 - c) x₁ = −1, x₂ = 6, x₃ = −1
g in E einsetzen: 1·(−1 + 0r) + 1·(4 − 1r) + 4·(3 + 2r) = 1 · 7r = −14 ⇒ r = −2 · S(−1 | 6 | −1) - d) 3,06
d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |14 − 1| / √18 ≈ 3,06