Klataza 🧮 Math
Unit 71 · Ganze Aufgaben 5 und 6
🔄 Umkehrfunktionen
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Aufgabe 1: Umkehrfunktion einer e-Funktion
Gegeben ist f(x) = e0,5x + 1, D = ℝ.
- a) Wertemenge W = ]w; ∞[: w = ?
- b) Term der Umkehrfunktion?
- c) f⁻¹(6) (3 Dezimalen)?
- d) Wie liegen die Graphen von f und f⁻¹ zueinander?☐ spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden y = x ☐ spiegelbildlich zur x-Achse ☐ spiegelbildlich zur y-Achse
Aufgabe 2: Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion
Gegeben ist f(x) = √(x − 2) + 1, x ≥ 2.
- a) Wertemenge W = [w; ∞[: w = ?
- b) Term der Umkehrfunktion?
- c) Kleinstes x, für das f⁻¹ definiert ist?
- d) ∫ von 0 bis 1 von 4/(1 + x²) dx (4 Dezimalen; arctan ist die Umkehrung von tan)?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) 1
ekx > 0 ⇒ f(x) > 1 - b) ln((x − 1)/1) / 0,5
y = 1e0,5x + 1 nach x auflösen · e0,5x = (y − 1)/1 ⇒ x = ln((y − 1)/1) / 0,5 · x und y tauschen. - c) 3,219
ln(5) / 0,5 ≈ 3,219 - d) spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden y = x
Beim Umkehren werden x und y vertauscht ⇒ Spiegelung an y = x.
Aufgabe 2
- a) 1
√(…) ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ 1 - b) (x − 1)² + 2
y − 1 = √(x − 2) ⇒ (y − 1)² = x − 2 · x = (y − 1)² + 2; tauschen - c) 1
D(f⁻¹) = W(f) - d) 3,1416
Stammfunktion von 1/(1 + x²) ist arctan x · 4·(arctan 1 − arctan 0) = 4 · π/4 = π