Klataza 🧮 Math
Unit 72 · Ganze Aufgaben 5 und 6
📶 Integralfunktion
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Aufgabe 1: Ober- und Untersumme
f(x) = x² auf [0; 2], unterteilt in 4 gleich breite Streifen.
- a) Untersumme U₄ (4 Dezimalen)?
- b) Obersumme O₄ (4 Dezimalen)?
- c) Exakter Wert des Integrals (4 Dezimalen)?
Aufgabe 2: Integralfunktion
Gegeben ist die Integralfunktion I(x) = ∫ von 1 bis x (2t − 4) dt.
- a) Gib I(x) ohne Integralzeichen an.
- b) Nullstellen von I?
- c) Wo hat I einen Extrempunkt (x-Wert)?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) 1,75
Breite 0,5, Höhen am linken Rand: f(0), f(0,5), f(1), f(1,5) · U₄ = 0,5 · (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75 - b) 3,75
Höhen am rechten Rand (f steigt) · O₄ = 0,5 · (0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 3,75 - c) 2,6667
∫ von 0 bis 2 x² dx = 2³/3 = 2,6667 · Er liegt zwischen U₄ und O₄.
Aufgabe 2
- a) x² − 4x + 3
Stammfunktion t² − 4t · I(x) = [t² − 4t] von 1 bis x = x² − 4x + 3 - b) 1; 3
I(1) = 0 immer (gleiche Grenzen) · x² − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1 oder x = 3 - c) 2
I'(x) = f(x) = 2x − 4 · = 0 ⇒ x = 2