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Klataza 🧮 Math

Unit 74 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🌡️ Differenzialgleichungen

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Aufgabe 1: Newtonsches Abkühlungsgesetz

Für die Temperatur T(x) (°C, x in min) einer Tasse Tee gilt T'(x) = −k · (T(x) − 20). Zu Beginn hat der Tee 90 °C, nach 10 Minuten 70 °C.

  1. a) Welche Funktion löst die Differenzialgleichung?☐ T(x) = 20 + 70·e^(−kx) ☐ T(x) = 90·e^(−kx) ☐ T(x) = 20 − 70·e^(kx)
  2. b) Bestimme k (4 Dezimalen).
  3. c) Temperatur nach 30 Minuten (1 Dezimale)?
  4. d) Wann ist der Tee auf 40 °C abgekühlt (min, 1 Dezimale)?

Aufgabe 2: Trennung der Variablen

Gesucht ist die Lösung der Differenzialgleichung y' = 2·x·y mit y(0) = 3.

  1. a) Lösung y(x)?
  2. b) y(1) (3 Dezimalen)?
  3. c) y'(1) aus der Differenzialgleichung (3 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) T(x) = 20 + 70·e−kx
    Trennung der Variablen: dT/(T − 20) = −k dx ⇒ ln|T − 20| = −kx + C · T(x) = 20 + C·e−kx, T(0) = 90 ⇒ C = 70
  2. b) 0,0336
    20 + 70·e−10k = 70 ⇒ e−10k = 0,7143 · k = −ln(0,7143) / 10 ≈ 0,0336
  3. c) 45,5
    T(30) = 20 + 70·e−0,0336·30 ≈ 45,5
  4. d) 37,2
    e−kx = 20/70 · x = −ln(0,2857) / k ≈ 37,2

Aufgabe 2

  1. a) 3·e1x²
    dy/y = 2x dx · ln|y| = 1x² + C · y = K·e1x², y(0) = 3 ⇒ K = 3
  2. b) 8,155
    y(1) = 3·e1 ≈ 8,155
  3. c) 16,31
    y'(1) = 2·1·y(1) ≈ 16,31