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Klataza 🧮 Math

Unit 74 · Ganze Aufgaben 5 und 6

🌡️ Differenzialgleichungen

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Aufgabe 1: Newtonsches Abkühlungsgesetz

Für die Temperatur T(x) (°C, x in min) einer Tasse Tee gilt T'(x) = −k · (T(x) − 20). Zu Beginn hat der Tee 80 °C, nach 10 Minuten 55 °C.

  1. a) Welche Funktion löst die Differenzialgleichung?☐ T(x) = 20 + 60·e^(−kx) ☐ T(x) = 80·e^(−kx) ☐ T(x) = 20 − 60·e^(kx)
  2. b) Bestimme k (4 Dezimalen).
  3. c) Temperatur nach 30 Minuten (1 Dezimale)?
  4. d) Wann ist der Tee auf 40 °C abgekühlt (min, 1 Dezimale)?

Aufgabe 2: Trennung der Variablen

Gesucht ist die Lösung der Differenzialgleichung y' = 1·x·y mit y(0) = 1.

  1. a) Lösung y(x)?
  2. b) y(1) (3 Dezimalen)?
  3. c) y'(1) aus der Differenzialgleichung (3 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) T(x) = 20 + 60·e−kx
    Trennung der Variablen: dT/(T − 20) = −k dx ⇒ ln|T − 20| = −kx + C · T(x) = 20 + C·e−kx, T(0) = 80 ⇒ C = 60
  2. b) 0,0539
    20 + 60·e−10k = 55 ⇒ e−10k = 0,5833 · k = −ln(0,5833) / 10 ≈ 0,0539
  3. c) 31,9
    T(30) = 20 + 60·e−0,0539·30 ≈ 31,9
  4. d) 20,4
    e−kx = 20/60 · x = −ln(0,3333) / k ≈ 20,4

Aufgabe 2

  1. a) 1·e0,5x²
    dy/y = 1x dx · ln|y| = 0,5x² + C · y = K·e0,5x², y(0) = 1 ⇒ K = 1
  2. b) 1,649
    y(1) = 1·e0,5 ≈ 1,649
  3. c) 1,649
    y'(1) = 1·1·y(1) ≈ 1,649