Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Medizinischer Test (Bayes)

10 % der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit (K). Ein Test erkennt Kranke mit 99 % Wahrscheinlichkeit (positiv), Gesunde werden mit 97 % Wahrscheinlichkeit richtig negativ getestet.

1. a) P(Test positiv)?
   Lösung

   0,126

   1. Zwei Pfade enden bei „positiv“: K → + und K̄ → +
   2. P(+) = 0,1·0,99 + 0,9·0,03 = 0,126
2. b) Wie wahrscheinlich ist man bei positivem Test wirklich krank? P₊(K)?
   Lösung

   0,7857

   1. Satz von Bayes: P₊(K) = P(K ∩ +) / P(+)
   2. = 0,099 / 0,126 ≈ 0,7857
3. c) P₋(K̄): Wie wahrscheinlich ist man bei negativem Test gesund?
   Lösung

   0,9989

   1. P(−) = 1 − 0,126 = 0,874
   2. P₋(K̄) = 0,9·0,97 / 0,874 ≈ 0,9989
4. d) Von 10 000 Getesteten: Wie viele sind positiv getestet, aber gesund (erwartet)?
   Lösung

   270

   1. 10 000 · 0,9 · 0,03 = 270

Aufgabe: Zwei Maschinen

Maschine A stellt 40 % der Teile her, Maschine B den Rest. Bei A sind 90 % der Teile einwandfrei (E), bei B 60 %.

1. a) P(E): Ein zufälliges Teil ist einwandfrei.
   Lösung

   0,72

   1. P(E) = 0,4·0,9 + 0,6·0,6 = 0,72
2. b) Ein Teil ist fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von A?
   Lösung

   0,1429

   1. P(Ē) = 1 − 0,72 = 0,28
   2. P_Ē(A) = 0,4·0,1 / 0,28 ≈ 0,1429
3. c) Sind „von A“ und „einwandfrei“ unabhängig? (Ja / Nein)
   Lösung

   Nein

   1. P_A(E) = 0,9, P_B(E) = 0,6
   2. Verschieden ⇒ abhängig.

Übungsaufgaben

1. Von 400 Schülern machen 200 Sport im Verein, 50 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,25

   1. Bedingung: nur die 200 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 50 / 200 = 0,25
2. Von 500 Schülern machen 200 Sport im Verein, 50 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,25

   1. Bedingung: nur die 200 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 50 / 200 = 0,25
3. Von 400 Schülern machen 160 Sport im Verein, 64 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,4

   1. Bedingung: nur die 160 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 64 / 160 = 0,4
4. Von 200 Schülern machen 120 Sport im Verein, 72 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,6

   1. Bedingung: nur die 120 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 72 / 120 = 0,6
5. Von 1000 Schülern machen 300 Sport im Verein, 180 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,6

   1. Bedingung: nur die 300 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 180 / 300 = 0,6
6. Von 200 Schülern machen 120 Sport im Verein, 48 davon spielen Fußball. Ein Vereinssportler wird zufällig gewählt: P(Fußball | Verein)? (2 Dezimalen)
   Lösung

   0,4

   1. Bedingung: nur die 120 Vereinssportler zählen.
   2. P(Fußball | Verein) = 48 / 120 = 0,4