Erwartungswert und Gegenereignis – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Glücksrad: faires Spiel?

Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder: 1 Feld(er) „Gold“, 3 „Silber“, 6 „Niete“. Der Einsatz beträgt 1 €. Gold zahlt 6 €, Silber 2 € aus.

X = Gewinn (Auszahlung − Einsatz).

1. a) Erwartungswert E(X) (€, 2 Dezimalen)?
   Lösung

   0,2

   1. E(X) = 5·1/10 + 1·3/10 + −1·6/10 ≈ 0,2
2. b) Ist das Spiel fair? (Ja, E(X) = 0 / Nein, günstig für den Spieler (E(X) > 0) / Nein, günstig für den Betreiber (E(X) < 0))
   Lösung

   Nein, günstig für den Spieler (E(X) > 0)

   1. E(X) = 0,2
3. c) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair (€, 2 Dezimalen)?
   Lösung

   1,2

   1. Fair: Einsatz = erwartete Auszahlung
   2. 6·1/10 + 2·3/10 + 0·6/10 ≈ 1,2 €
4. d) Standardabweichung σ von X (2 Dezimalen)?
   Lösung

   1,83

   1. Var(X) = Σ (x − E)² · P = 3,36
   2. σ = √Var ≈ 1,83

Übungsaufgaben

1. Ein Bauteil ist mit p = 0,25 defekt. Wie viele defekte erwartet man unter 100 Bauteilen?
   Lösung

   25

   1. E(X) = n·p = 100·0,25 = 25
2. Ein Bauteil ist mit p = 0,1 defekt. Wie viele defekte erwartet man unter 200 Bauteilen?
   Lösung

   20

   1. E(X) = n·p = 200·0,1 = 20
3. Ein Glücksrad zeigt mit p = 0,5 „Gewinn“. Es wird 6-mal gedreht. P(mindestens ein Gewinn)? (4 Dezimalen)
   Lösung

   0,9844

   1. P(X = 0) = (1 − 0,5)⁶ = 0,0156
   2. P(X ≥ 1) = 1 − 0,0156 = 0,9844
4. Ein Glücksrad zeigt mit p = 0,3 „Gewinn“. Es wird 3-mal gedreht. P(mindestens ein Gewinn)? (4 Dezimalen)
   Lösung

   0,657

   1. P(X = 0) = (1 − 0,3)³ = 0,343
   2. P(X ≥ 1) = 1 − 0,343 = 0,657
5. Ein Glücksrad zeigt mit p = 0,5 „Gewinn“. Es wird 5-mal gedreht. P(mindestens ein Gewinn)? (4 Dezimalen)
   Lösung

   0,9688

   1. P(X = 0) = (1 − 0,5)⁵ = 0,0313
   2. P(X ≥ 1) = 1 − 0,0313 = 0,9688
6. X ~ B(20; 0,25). Berechne die Standardabweichung σ (2 Dezimalen).
   Lösung

   1,94

   1. Var(X) = n·p·(1 − p) = 20·0,25·0,75 = 3,75
   2. σ = √3,75 ≈ 1,94