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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Bernoulli-Ketten – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Bernoulli-Ketten Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Bernoulli-Ketten übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

n unabhängige Versuche mit Trefferwahrscheinlichkeit p: X zählt die Treffer. Verändere n und p und sieh dir die Verteilung an.

2. Schritt

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: k Treffer (pᵏ), n − k Nieten ((1 − p)ⁿ⁻ᵏ), und (n über k) Reihenfolgen.

Kurz nachgedacht: n = 3, p = 0,5. P(X = 2)?

0,375 0,125 0,25

Auflösung

0,375 – (3 über 2) = 3, also 3 · 0,5² · 0,5 = 0,375.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Bernoulli-Kette

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit p = 0,25 defekt. Betrachtet werden n = 10 Bauteile; X zählt die defekte Teile.

  1. a) P(X = 3) (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,2503

    1. P(X = 3) = (10 über 3) · 0,253 · 0,757
    2. = 120 · … ≈ 0,2503
  2. b) P(X ≤ 3) (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,7759

    1. Summe P(X = 0) + … + P(X = 3) (Tabelle/Taschenrechner) ≈ 0,7759
  3. c) P(X ≥ 5) (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,0781

    1. P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 0,0781
  4. d) Erwartungswert und Standardabweichung?
    Lösung

    μ = 2,5, σ = 1,37

    1. μ = n·p = 2,5
    2. σ = √(n·p·(1 − p)) = √1,875 ≈ 1,37
  5. e) Wie viele Versuche braucht man mindestens, damit P(X ≥ 1) mindestens 95 % ist?
    Lösung

    11

    1. 1 − 0,75n ≥ 0,95 ⇔ 0,75n ≤ 0,05
    2. n ≥ ln 0,05 / ln 0,75 ≈ 10,41 ⇒ n = 11

Übungsaufgaben

  1. X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,25. Berechne P(X = 4) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,033

    1. (6 über 4) = 15
    2. P(X = 4) = 15 · 0,254 · 0,752
    3. ≈ 0,033
  2. X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,3. Berechne P(X = 1) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,4116

    1. (4 über 1) = 4
    2. P(X = 1) = 4 · 0,31 · 0,73
    3. ≈ 0,4116
  3. X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,5. Berechne P(X = 4) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,2344

    1. (6 über 4) = 15
    2. P(X = 4) = 15 · 0,54 · 0,52
    3. ≈ 0,2344
  4. X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,2. Berechne P(X = 2) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,2458

    1. (6 über 2) = 15
    2. P(X = 2) = 15 · 0,22 · 0,84
    3. ≈ 0,2458
  5. X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,4. Berechne P(X = 4) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,1382

    1. (6 über 4) = 15
    2. P(X = 4) = 15 · 0,44 · 0,62
    3. ≈ 0,1382
  6. X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,5. Berechne P(X = 1) (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,0098

    1. (10 über 1) = 10
    2. P(X = 1) = 10 · 0,51 · 0,59
    3. ≈ 0,0098

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