Extremwertaufgaben – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Offene Schachtel

Aus einem rechteckigen Karton (48 cm × 18 cm) wird eine oben offene Schachtel gefaltet: An den Ecken werden Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten.

1. a) Volumen V(x) als Polynom?
   Lösung

   4x³ − 132x² + 864x

   1. V(x) = x · (48 − 2x) · (18 − 2x)
   2. = 4x³ − 132x² + 864x
2. b) Sinnvoller Definitionsbereich? (0 < x < 9 / 0 < x < 24 / 0 < x < 18)
   Lösung

   0 < x < 9

   1. Die kürzere Seite 18 − 2x muss positiv bleiben: x < 9.
3. c) Für welches x wird das Volumen maximal (cm)?
   Lösung

   4

   1. V'(x) = 12x² − 264x + 864 = 0
   2. Lösungsformel: x = 4 (die zweite Lösung liegt außerhalb des Definitionsbereichs)
   3. V''(4) < 0 ⇒ Maximum
4. d) Maximales Volumen (cm³)?
   Lösung

   1600

   1. V(4) = 4 · 40 · 10 = 1600

Aufgabe: Rechteck unter einer Parabel

Unter dem Graphen von f(x) = −0,5x² + 6 liegt ein Rechteck mit zwei Ecken auf der x-Achse und den Ecken P(x | f(x)) und Q(−x | f(x)) auf dem Graphen (x > 0).

1. a) Flächeninhalt A(x) des Rechtecks?
   Lösung

   −x³ + 12x

   1. Breite 2x, Höhe f(x): A(x) = 2x · (−0,5x² + 6)
   2. = −x³ + 12x
2. b) Für welches x ist A maximal?
   Lösung

   2

   1. A'(x) = −3x² + 12 = 0
   2. x² = 4 ⇒ x = 2
3. c) Maximaler Flächeninhalt?
   Lösung

   16

   1. A(2) = 16

Übungsaufgaben

1. Gewinn G(x) = −x² + 16x − 44 (x in Stück). Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal?
   Lösung

   8

   1. G'(x) = −2x + 16
   2. −2x + 16 = 0 ⇒ x = 8
   3. G''(x) = −2 < 0 ⇒ Maximum
2. Zwei Zahlen haben die Summe 16. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?
   Lösung

   64

   1. Zweite Zahl: 16 − x
   2. P(x) = x·(16 − x) = −x² + 16x
   3. P'(x) = −2x + 16 = 0 ⇒ x = 8
   4. P(8) = 8·8 = 64
3. Mit 24 m Zaun soll ein rechteckiges Beet eingezäunt werden. Wie groß ist die größtmögliche Fläche in m²?
   Lösung

   36

   1. Nebenbedingung: 2x + 2y = 24 ⇒ y = 12 − x
   2. Zielfunktion: A(x) = x·(12 − x) = −x² + 12x
   3. A'(x) = −2x + 12 = 0 ⇒ x = 6
   4. A(6) = 6·6 = 36
4. Zwei Zahlen haben die Summe 20. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?
   Lösung

   100

   1. Zweite Zahl: 20 − x
   2. P(x) = x·(20 − x) = −x² + 20x
   3. P'(x) = −2x + 20 = 0 ⇒ x = 10
   4. P(10) = 10·10 = 100
5. Gewinn G(x) = −x² + 24x − 45 (x in Stück). Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal?
   Lösung

   12

   1. G'(x) = −2x + 24
   2. −2x + 24 = 0 ⇒ x = 12
   3. G''(x) = −2 < 0 ⇒ Maximum
6. Zwei Zahlen haben die Summe 10. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?
   Lösung

   25

   1. Zweite Zahl: 10 − x
   2. P(x) = x·(10 − x) = −x² + 10x
   3. P'(x) = −2x + 10 = 0 ⇒ x = 5
   4. P(5) = 5·5 = 25