Extrem- und Wendepunkte – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Kurvendiskussion

Gegeben ist f(x) = −x³ + 12x − 3.

1. a) Bilde die erste Ableitung.
   Lösung

   −3x² + 12

   1. Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, Konstanten fallen weg
   2. f'(x) = −3x² + 12
2. b) Berechne die Stellen mit waagrechter Tangente.
   Lösung

   −2; 2

   1. f'(x) = 0: −3x² + 12 = 0
   2. Durch −3 teilen: x² − 4 = 0
   3. x = −2 oder x = 2
3. c) Gib den Hochpunkt an.
   Lösung

   x = 2, y = 13

   1. f''(x) = −6x
   2. f''(2) = −12 < 0 ⇒ Hochpunkt
   3. y = f(2) = 13
   4. H(2 | 13)
4. d) Gib den Tiefpunkt an.
   Lösung

   x = −2, y = −19

   1. f''(−2) = 12 > 0 ⇒ Tiefpunkt
   2. T(−2 | −19)
5. e) Gib den Wendepunkt an.
   Lösung

   x = 0, y = −3

   1. f''(x) = 0: −6x = 0 ⇒ x = 0
   2. f(0) = −3
   3. W(0 | −3) – genau in der Mitte zwischen H und T
6. f) Wo ist f streng monoton fallend? (]−∞; −2] und [2; ∞[ / [−2; 2])
   Lösung

   ]−∞; −2] und [2; ∞[

   1. f' hat die Nullstellen −2 und 2.
   2. f' ist eine nach unten geöffnete Parabel: außerhalb der Nullstellen negativ ⇒ dort fällt f.
7. g) Steigung der Wendetangente?
   Lösung

   12

   1. m = f'(0) = 12

Aufgabe: Absolute Extrema auf einem Intervall

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x + 3 mit x ∈ [−3; 3].

1. a) Stellen mit waagrechter Tangente?
   Lösung

   −2; 2

   1. f'(x) = 3x² − 12 = 0
   2. x = −2 oder x = 2
2. b) Funktionswerte am Rand: f(a) und f(b)?
   Lösung

   f(−3) = 12, f(3) = −6

   1. f(−3) = 12
   2. f(3) = −6
3. c) Absolutes Maximum von f auf dem Intervall (Funktionswert)?
   Lösung

   19

   1. Kandidaten: f(−3) = 12, f(−2) = 19, f(2) = −13, f(3) = −6
   2. Größter Wert: 19 bei x = −2
4. d) Absolutes Minimum (Funktionswert)?
   Lösung

   −13

   1. Kleinster Wert der Kandidaten: −13 bei x = 2

Übungsaufgaben

1. f(x) = 2x³ + 15x² + 36x − 3. Bestimme die x-Koordinate des Hochpunkts.
   Lösung

   −3

   1. f'(x) = 6x² + 30x + 36 = 6·(x + 2)(x + 3)
   2. f'(x) = 0 ⇒ x = −3 oder x = −2
   3. f''(x) = 12x + 30: f''(−3) < 0 ⇒ Hochpunkt, f''(−2) > 0 ⇒ Tiefpunkt
2. f(x) = −2x³ + 24x − 5. Bestimme die x-Koordinate des Hochpunkts.
   Lösung

   2

   1. f'(x) = −6x² + 24 = −6·(x − 2)(x + 2)
   2. f'(x) = 0 ⇒ x = −2 oder x = 2
   3. f''(x) = −12x: f''(2) < 0 ⇒ Hochpunkt, f''(−2) > 0 ⇒ Tiefpunkt
3. f(x) = 2x³ + 6x² − 48x + 5. Bestimme die x-Koordinate des Tiefpunkts.
   Lösung

   2

   1. f'(x) = 6x² + 12x − 48 = 6·(x + 4)(x − 2)
   2. f'(x) = 0 ⇒ x = −4 oder x = 2
   3. f''(x) = 12x + 12: f''(−4) < 0 ⇒ Hochpunkt, f''(2) > 0 ⇒ Tiefpunkt
4. f(x) = 2x³ − 24x + 2. Bestimme die x-Koordinate des Tiefpunkts.
   Lösung

   2

   1. f'(x) = 6x² − 24 = 6·(x + 2)(x − 2)
   2. f'(x) = 0 ⇒ x = −2 oder x = 2
   3. f''(x) = 12x: f''(−2) < 0 ⇒ Hochpunkt, f''(2) > 0 ⇒ Tiefpunkt
5. f(x) = 2x³ − 3x² + 2. Bestimme die Wendestelle x.
   Lösung

   0,5

   1. f''(x) = 12x − 6
   2. f''(x) = 0 ⇒ x = 0,5
6. f(x) = 2x³ − 3x² − 12x. Bestimme die Wendestelle x.
   Lösung

   0,5

   1. f''(x) = 12x − 6
   2. f''(x) = 0 ⇒ x = 0,5