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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Nullstellen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Nullstellen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Nullstellen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet: f(x) = 0. Verändere p und q.

2. Schritt

pq-Formel für x² + px + q = 0: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt es keine Nullstelle. Bei x³ + … ohne Konstante zuerst x ausklammern.

Kurz nachgedacht: x² − 2x − 8 = 0. Die Nullstellen?

x = 4 und x = −2 x = −4 und x = 2 x = 8 und x = −1

Auflösung

x = 4 und x = −2 – p = −2, q = −8: x = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± 3.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Übungsaufgaben

  1. f(x) = x² + x − 20. Bestimme die größere Nullstelle.
    Lösung

    4

    1. pq-Formel mit p = 1, q = −20:
    2. x = −0,5 ± √(0,25 − −20) = −0,5 ± 4,5
    3. x₁ = −5, x₂ = 4
  2. f(x) = x² + 2x. Bestimme die größere Nullstelle.
    Lösung

    0

    1. pq-Formel mit p = 2, q = 0:
    2. x = −1 ± √(1 − 0) = −1 ± 1
    3. x₁ = −2, x₂ = 0
  3. f(x) = x² + 7x + 12. Bestimme die größere Nullstelle.
    Lösung

    −3

    1. pq-Formel mit p = 7, q = 12:
    2. x = −3,5 ± √(12,25 − 12) = −3,5 ± 0,5
    3. x₁ = −4, x₂ = −3
  4. f(x) = x² + x − 30. Bestimme die größere Nullstelle.
    Lösung

    5

    1. pq-Formel mit p = 1, q = −30:
    2. x = −0,5 ± √(0,25 − −30) = −0,5 ± 5,5
    3. x₁ = −6, x₂ = 5
  5. f(x) = x³ + 6x² + 5x. Bestimme die größte Nullstelle.
    Lösung

    0

    1. x ausklammern: x·(x² + 6x + 5) = 0
    2. pq-Formel mit p = 6, q = 5:
    3. x = −3 ± √(9 − 5) = −3 ± 2
    4. x₁ = −5, x₂ = −1
    5. Größte Nullstelle: 0
  6. f(x) = x³ + 8x² + 15x. Bestimme die größte Nullstelle.
    Lösung

    0

    1. x ausklammern: x·(x² + 8x + 15) = 0
    2. pq-Formel mit p = 8, q = 15:
    3. x = −4 ± √(16 − 15) = −4 ± 1
    4. x₁ = −5, x₂ = −3
    5. Größte Nullstelle: 0

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