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Mathe · FOS 11 · mit Lösungen

Symmetrie und Substitution – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Symmetrie und Substitution Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Symmetrie und Substitution übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Symmetrie am Funktionsterm: nur gerade Exponenten ⇒ achsensymmetrisch zur y-Achse (f(−x) = f(x)); nur ungerade ⇒ punktsymmetrisch zum Ursprung (f(−x) = −f(x)).

Kurz nachgedacht: f(x) = x⁴ − 3x² + 1 ist …

achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung nicht symmetrisch

Auflösung

achsensymmetrisch zur y-Achse – Exponenten 4, 2, 0 – alle gerade.

2. Schritt

Biquadratische Gleichung x⁴ + px² + q = 0: Substitution z = x² gibt z² + pz + q = 0. Lösen, dann zurück: x = ±√z (nur für z ≥ 0).

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Biquadratische Gleichung

Gegeben ist f(x) = −x⁴ + 25x² − 144.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph von f? (achsensymmetrisch zur y-Achse / punktsymmetrisch zum Ursprung / keine einfache Symmetrie)
    Lösung

    achsensymmetrisch zur y-Achse

    1. Nur gerade Exponenten (4, 2, 0) ⇒ f(−x) = f(x).
  2. b) Substituiere z = x² und löse die quadratische Gleichung: z = ?
    Lösung

    9; 16

    1. z² − 25z + 144 = 0
    2. z = 9 oder z = 16
  3. c) Gib alle Nullstellen von f an.
    Lösung

    −4; −3; 3; 4

    1. Rücksubstitution: x² = 9 ⇒ x = ±3
    2. x² = 16 ⇒ x = ±4
  4. d) Verhalten für x → ±∞? (f(x) → +∞ auf beiden Seiten / f(x) → −∞ auf beiden Seiten / links −∞, rechts +∞)
    Lösung

    f(x) → −∞ auf beiden Seiten

    1. Gerader Grad 4, Leitkoeffizient −1: beide Enden gleich, nach unten.

Aufgabe: Punktsymmetrie und Vorzeichen

Gegeben ist f(x) = −x³ + 4x.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph? (achsensymmetrisch zur y-Achse / punktsymmetrisch zum Ursprung / keine einfache Symmetrie)
    Lösung

    punktsymmetrisch zum Ursprung

    1. Nur ungerade Exponenten (3, 1) ⇒ f(−x) = −f(x).
  2. b) Nullstellen von f?
    Lösung

    −2; 0; 2

    1. x ausklammern: f(x) = −1x(x² − 4)
    2. x = 0 oder x² = 4 ⇒ x = ±2
  3. c) Für welche x gilt f(x) > 0? (−2 < x < 0 oder x > 2 / x < −2 oder 0 < x < 2)
    Lösung

    x < −2 oder 0 < x < 2

    1. Drei einfache Nullstellen, Vorzeichenwechsel an jeder.
    2. Für große x ist f negativ.
  4. d) Berechne f(3).
    Lösung

    −15

    1. f(3) = −1·27 + 4·3 = −15
  5. e) Welchen Wert hat dann f(−3)?
    Lösung

    15

    1. Punktsymmetrie: f(−x) = −f(x)
    2. f(−3) = 15

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