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Mathe · FOS 11 · mit Lösungen

Ganzrationale Funktionen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Ganzrationale Funktionen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Ganzrationale Funktionen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Nullstellen höheren Grades: Ausklammern, binomische Formeln oder eine Nullstelle erraten (Teiler des absoluten Glieds) und dann Polynomdivision bzw. Horner-Schema: f(x) : (x − x₀) ergibt ein Polynom vom Grad n − 1.

2. Schritt

Vielfachheit: Ein Faktor (x − a)ᵏ mit geradem k – der Graph berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel); mit ungeradem k schneidet er sie. Verschiebe a und probiere die Vielfachheit aus.

3. Schritt

Verhalten für x → ±∞ bestimmt allein der Summand mit der höchsten Potenz: Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

Kurz nachgedacht: f(x) = −2x³ + x: für x → +∞?

f(x) → −∞ f(x) → +∞

Auflösung

f(x) → −∞ – −2x³ wird sehr negativ.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Polynomdivision und Nullstellen

Gegeben ist f(x) = x³ − 4x² + x + 6.

x = 2 ist eine Nullstelle von f.

  1. a) Berechne f(x) : (x − 2).
    Lösung

    x² − 2x − 3

    1. Horner-Schema mit x = 2: Koeffizienten 1 | −4 | 1 | 6
    2. Runter holen, mit 2 multiplizieren, addieren: 1 | −2 | −3 | 0 (Rest 0)
    3. f(x) : (x − 2) = x² − 2x − 3
  2. b) Gib alle Nullstellen von f an.
    Lösung

    −1; 2; 3

    1. x² − 2x − 3 = 0
    2. Lösungsformel: x = 3 oder x = −1
    3. Nullstellen: −1; 2; 3
  3. c) Wo schneidet der Graph die y-Achse? f(0) = ?
    Lösung

    6

    1. f(0) ist das absolute Glied: 6
  4. d) Verhalten für x → +∞? (f(x) → +∞ / f(x) → −∞)
    Lösung

    f(x) → +∞

    1. Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet: x³
    2. Positiver Leitkoeffizient, ungerader Grad: x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
  5. e) Für welche x verläuft der Graph oberhalb der x-Achse? (−1 < x < 2 oder x > 3 / x < −1 oder 2 < x < 3)
    Lösung

    −1 < x < 2 oder x > 3

    1. Drei einfache Nullstellen: an jeder wechselt das Vorzeichen.
    2. Ganz rechts ist f positiv (k > 0), dann abwechselnd.

Aufgabe: Nullstellen mit Vielfachheit

Gegeben ist f(x) = x³ + 2x² + x.

  1. a) Gib alle Nullstellen von f an.
    Lösung

    −1; 0

    1. x ausklammern: f(x) = x · (x² + 2x + 1)
    2. Binomische Formel: x² + 2x + 1 = (x + 1)²
    3. Nullstellen: 0 und −1
  2. b) Welche Nullstelle ist doppelt?
    Lösung

    −1

    1. Der Faktor (x + 1)² kommt zweimal vor.
  3. c) Wie verhält sich der Graph an der doppelten Nullstelle? (Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel). / Er schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).)
    Lösung

    Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel).

    1. Gerade Vielfachheit: kein Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die x-Achse (dort liegt ein Extrempunkt).
  4. d) Welche Symmetrie hat der Graph? (achsensymmetrisch zur y-Achse / punktsymmetrisch zum Ursprung / keine dieser Symmetrien)
    Lösung

    keine dieser Symmetrien

    1. f enthält gerade und ungerade Potenzen von x.
    2. Deshalb ist der Graph weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
  5. e) Steigung des Graphen an der Stelle x = 1? f'(1) = ?
    Lösung

    8

    1. f'(x) = 3x² + 4x + 1
    2. f'(1) = 8

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