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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Flächen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Flächen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Flächen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Fläche zwischen Graph und x-Achse: Nullstellen als Grenzen, dann integrieren. Liegt die Fläche unter der Achse, ist das Integral negativ – dann den Betrag nehmen.

2. Schritt

Wechselt der Graph zwischen den Grenzen das Vorzeichen, die Fläche an der Nullstelle aufteilen und die Beträge addieren.

Kurz nachgedacht: ∫ von −1 bis 1 x³ dx = 0. Ist die Fläche 0?

Nein, die Teile heben sich nur auf Ja

Auflösung

Nein, die Teile heben sich nur auf – Links negativ, rechts positiv – Fläche = |−0,25| + 0,25 = 0,5.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Fläche zwischen Parabel und Gerade

f(x) = −x² − 2x + 5, g(x) = −2x + 1

  1. a) Schnittstellen von f und g?
    Lösung

    −2; 2

    1. f(x) = g(x) ⇔ −x² + 4 = 0
    2. x = −2 oder x = 2
  2. b) Stammfunktion von d(x) = f(x) − g(x)?
    Lösung

    −0,333x³ + 4x

    1. d(x) = −x² + 4
    2. D(x) = −0,333x³ + 4x
  3. c) Inhalt der eingeschlossenen Fläche (2 Dezimalen)?
    Lösung

    10,67

    1. A = ∫ von −2 bis 2 (f(x) − g(x)) dx = D(2) − D(−2) ≈ 10,67

Aufgabe: Integral einer e-Funktion

Gegeben ist f(x) = 4 · e1x.

  1. a) Eine Stammfunktion F von f?
    Lösung

    4·e1x

    1. Stammfunktion von ecx ist (1/c)·ecx
    2. F(x) = 4/1 · e1x = 4·e1x
  2. b) ∫ von 0 bis 2 f(x) dx (2 Dezimalen)?
    Lösung

    25,56

    1. F(2) − F(0) = 29,556 − 4 ≈ 25,56
  3. c) Mittelwert von f auf diesem Intervall (2 Dezimalen)?
    Lösung

    12,78

    1. Integral / Intervalllänge = 25,556 / 2 ≈ 12,78

Übungsaufgaben

  1. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + x + 2 mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    4,5

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = −1, x = 2
    2. A = |∫ von −1 bis 2 f(x) dx|
    3. A = 4,5 FE
  2. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + x + 2 mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    4,5

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = −1, x = 2
    2. A = |∫ von −1 bis 2 f(x) dx|
    3. A = 4,5 FE
  3. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + 2x mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    1,33

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x + 0)(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 2
    2. A = |∫ von 0 bis 2 f(x) dx|
    3. A = 1,33 FE
  4. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + 6x − 5 mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    10,67

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x − 1)(x − 5) = 0 ⇒ x = 1, x = 5
    2. A = |∫ von 1 bis 5 f(x) dx|
    3. A = 10,67 FE
  5. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + x + 2 mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    4,5

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = −1, x = 2
    2. A = |∫ von −1 bis 2 f(x) dx|
    3. A = 4,5 FE
  6. Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f(x) = −x² + 1 mit der x-Achse ein? (2 Dezimalen)
    Lösung

    1,33

    1. Nullstellen: f(x) = −1(x + 1)(x − 1) = 0 ⇒ x = −1, x = 1
    2. A = |∫ von −1 bis 1 f(x) dx|
    3. A = 1,33 FE

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