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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Ableiten – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Ableiten Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

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So funktioniert’s

1. Schritt

Die Ableitung f'(x₀) ist die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ – die Steigung der Tangente. Verschiebe x₀.

2. Schritt

Potenzregel: Der Exponent wandert nach vorne, dann wird er um 1 kleiner: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben.

Kurz nachgedacht: f(x) = 4x³ − 2x + 7. f'(x) = ?

12x² − 2 4x² − 2 12x² − 2 + 7

Auflösung

12x² − 2 – 4x³ → 3·4x² = 12x², −2x → −2, 7 fällt weg.

3. Schritt

Wo die Tangente waagrecht ist (Steigung 0), hat der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt. Finde die Stellen mit dem Regler.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Übungsaufgaben

  1. f(x) = x². Berechne f'(−3).
    Lösung

    −6

    1. f'(x) = 2x
    2. f'(−3) = 2·(−3)
    3. = −6
  2. f(x) = −4x² − 4x − 5. Berechne f'(−3).
    Lösung

    20

    1. f'(x) = −8x − 4
    2. f'(−3) = −8·(−3) − 4
    3. = 20
  3. f(x) = −2x³ + 2x² − x − 2. Bilde f'(x).
    Lösung

    f'(x) = −6x² + 4x − 1

    1. Jeden Summanden einzeln ableiten (Summenregel).
    2. −2x³ → −6x²
    3. 2x² → 4x
    4. −x → −1
    5. −2 ist eine Konstante → fällt weg
    6. f'(x) = −6x² + 4x − 1
  4. f(x) = −x³ + 3x² − 2x + 3. Bilde f'(x).
    Lösung

    f'(x) = −3x² + 6x − 2

    1. Jeden Summanden einzeln ableiten (Summenregel).
    2. −x³ → −3x²
    3. 3x² → 6x
    4. −2x → −2
    5. 3 ist eine Konstante → fällt weg
    6. f'(x) = −3x² + 6x − 2
  5. f(x) = 3x³ + 2x² + 4x − 5. Bilde f'(x).
    Lösung

    f'(x) = 9x² + 4x + 4

    1. Jeden Summanden einzeln ableiten (Summenregel).
    2. 3x³ → 9x²
    3. 2x² → 4x
    4. 4x → 4
    5. −5 ist eine Konstante → fällt weg
    6. f'(x) = 9x² + 4x + 4
  6. f(x) = 3x³ + 2x² − 5x + 5. Bilde f'(x).
    Lösung

    f'(x) = 9x² + 4x − 5

    1. Jeden Summanden einzeln ableiten (Summenregel).
    2. 3x³ → 9x²
    3. 2x² → 4x
    4. −5x → −5
    5. 5 ist eine Konstante → fällt weg
    6. f'(x) = 9x² + 4x − 5

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