Tangenten – einfach erklärt mit Aufgaben und Lösungen

So funktioniert’s

Die Tangente berührt den Graphen im Punkt P(x₀ | f(x₀)) und hat dort dieselbe Steigung: m = f'(x₀).

Rezept: 1. m = f'(x₀) 2. Punkt berechnen: y₀ = f(x₀) 3. In y = mx + t einsetzen und nach t auflösen: t = y₀ − m·x₀.

Kurz nachgedacht: Punkt (2 | 3), m = 4. t = ?

−5 11 3

Auflösung

−5 – 3 = 4·2 + t ⇒ t = 3 − 8 = −5.

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

f(x) = x² − 4x + 4. Die Tangente an den Graphen bei x = 3 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
−5
1. f'(x) = 2x − 4 ⇒ m = f'(3) = 2
2. Punkt: f(3) = 1 ⇒ P(3 | 1)
3. 1 = 2·3 + t ⇒ t = −5
f(x) = 2x² + 3x + 5. Die Tangente an den Graphen bei x = 3 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
−13
1. f'(x) = 4x + 3 ⇒ m = f'(3) = 15
2. Punkt: f(3) = 32 ⇒ P(3 | 32)
3. 32 = 15·3 + t ⇒ t = −13
f(x) = −x² + 5. Die Tangente an den Graphen bei x = 2 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
9
1. f'(x) = −2x ⇒ m = f'(2) = −4
2. Punkt: f(2) = 1 ⇒ P(2 | 1)
3. 1 = −4·2 + t ⇒ t = 9
f(x) = −x² − 4x + 1. Die Tangente an den Graphen bei x = 1 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
2
1. f'(x) = −2x − 4 ⇒ m = f'(1) = −6
2. Punkt: f(1) = −4 ⇒ P(1 | −4)
3. −4 = −6·1 + t ⇒ t = 2
f(x) = x² − 3x − 3. Die Tangente an den Graphen bei x = 3 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
−12
1. f'(x) = 2x − 3 ⇒ m = f'(3) = 3
2. Punkt: f(3) = −3 ⇒ P(3 | −3)
3. −3 = 3·3 + t ⇒ t = −12
f(x) = −2x² − 3x − 4. Die Tangente an den Graphen bei x = 3 hat die Gleichung y = mx + t. Bestimme t.
Lösung
14
1. f'(x) = −4x − 3 ⇒ m = f'(3) = −15
2. Punkt: f(3) = −31 ⇒ P(3 | −31)
3. −31 = −15·3 + t ⇒ t = 14