Steckbriefaufgaben – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Steckbrief: Funktion 3. Grades

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades schneidet die y-Achse bei y = −5, hat den Hochpunkt E(1 | −1) und an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

1. a) Welchen Wert hat d?
   Lösung

   −5

   1. f(0) = d = −5
2. b) Bestimme a, b und c.
   Lösung

   a = 1, b = −6, c = 9

   1. f'(x) = 3ax² + 2bx + c
   2. I: f(1) = −1: a + b + c = 4
   3. II: f'(1) = 0: 3a + 2b + c = 0
   4. III: f'(3) = 0: 27a + 6b + c = 0
   5. II − III eliminiert c, dann in I einsetzen (Gauß-Verfahren).
   6. a = 1, b = −6, c = 9
3. c) Gib den Funktionsterm an.
   Lösung

   x³ − 6x² + 9x − 5

   1. f(x) = x³ − 6x² + 9x − 5
4. d) Ist E wirklich ein Hochpunkt? (Ja / Nein)
   Lösung

   Ja

   1. f''(x) = 6x − 12
   2. f''(1) = −6 < 0 ⇒ Hochpunkt

Aufgabe: Brückenbogen: Parabel durch drei Punkte

Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel f(x) = ax² + bx + c (x und y in m). Er geht durch die Punkte P(0 | 4,5), Q(3 | 9) und R(5 | 7).

1. a) Bestimme a, b und c.
   Lösung

   a = −0,5, b = 3, c = 4,5

   1. P: c = 4,5
   2. Q: 9a + 3b + c = 9
   3. R: 25a + 5b + c = 7
   4. c einsetzen, dann die beiden Gleichungen mit a und b lösen.
   5. a = −0,5, b = 3, c = 4,5
2. b) Wie hoch ist der Bogen an seiner höchsten Stelle (m)?
   Lösung

   9

   1. Scheitel bei x = −b/(2a) = 3
   2. f(3) = 9
3. c) Wie breit ist der Bogen auf Höhe des Bodens (y = 0) (m, 2 Dezimalen)?
   Lösung

   8,49

   1. a(x − 3)² + 9 = 0 ⇒ (x − 3)² = 18
   2. x = 3 ± 4,2426
   3. Breite: 2 · 4,2426 = 8,49