Lineare Gleichungssysteme – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Gleichungssystem: Kinokasse

An einem Abend kamen 77 Besucher ins Kino. Erwachsene zahlen 8 €, Kinder 6 €. Insgesamt wurden 510 € eingenommen.

1. a) Wie viele Erwachsene (x) und Kinder (y) waren da?
   Lösung

   x = 24, y = 53

   1. I: x + y = 77
   2. II: 8x + 6y = 510
   3. Aus I: y = 77 − x, in II: 8x + 6(77 − x) = 510
   4. 2x = 48 ⇒ x = 24
   5. y = 77 − 24 = 53
2. b) Wie viel Euro haben die Kinder insgesamt bezahlt?
   Lösung

   318

   1. 53 · 6 € = 318 €
3. c) Wie viel Prozent der Besucher waren Kinder (1 Dezimale)?
   Lösung

   68,8

   1. 53 / 77 · 100 % ≈ 68,8 %

Aufgabe: Gauß-Verfahren mit drei Unbekannten

Löse das lineare Gleichungssystem:

I: 2x − 3z = −3

II: −2x + y + z = 1

III: −2x − y = 10

1. a) Lösung (x | y | z)?
   Lösung

   x = −3, y = −4, z = −1

   1. II + I: y − 2z = −2
   2. III + I: −y − 3z = 7
   3. III + II: −5z = 5
   4. Rückwärts einsetzen: z = −1, y = −4, x = −3
   5. Probe in I: 2·(−3) + 0·(−4) + −3·(−1) = −3 ✓
2. b) Setze die Lösung ein: Welchen Wert hat x + y + z?
   Lösung

   −8

   1. −3 − 4 − 1 = −8