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Mathe · FOS 11 · mit Lösungen

Vektoren und Gauß-Verfahren – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Vektoren und Gauß-Verfahren Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Vektoren und Gauß-Verfahren übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Vektor von A nach B: AB = B − A („Spitze minus Fuß“). Mittelpunkt M = ½(A + B). Parallelogramm ABCD: D = A + C − B, weil AD = BC sein muss.

2. Schritt

Linearkombination: v = r·a + s·b + t·c ergibt komponentenweise ein LGS mit r, s, t – Gauß-Verfahren. Ist nur r = s = t = 0 eine Lösung von r·a + s·b + t·c = 0, sind a, b, c linear unabhängig.

Kurz nachgedacht: a = (1|0|0), b = (0|1|0), c = (2|3|0): linear …

abhängig unabhängig

Auflösung

abhängig – c = 2a + 3b.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(4 | 4 | −1), B(5 | 5 | −4) und C(5 | 1 | −2).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
    Lösung

    x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = −3

    1. AB = B − A (Spitze minus Fuß)
    2. AB = (1 | 1 | −3)
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
    Lösung

    3,32

    1. |AB| = √(1² + 1² + −3²) = √11 ≈ 3,32
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
    Lösung

    x₁ = 4,5, x₂ = 2,5, x₃ = −1,5

    1. M = ½(A + C)
    2. M(4,5 | 2,5 | −1,5)
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
    Lösung

    x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = 1

    1. AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B
    2. D(4 | 0 | 1)
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck? (Ja / Nein)
    Lösung

    Nein

    1. AB · BC = −10
    2. Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (1 | 1 | 2), b = (1 | 2 | 1), c = (2 | −2 | 1), v = (−2 | 9 | −1)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
    Lösung

    r = −1, s = 3, t = −2

    1. Komponentenweise ergibt sich ein LGS:
    2. II − I: s − 4t = 11
    3. III − 2·I: −s − 3t = 3
    4. III + II: −7t = 14
    5. Rückwärts einsetzen: t = −2, s = 3, r = −1
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig? (Ja / Nein)
    Lösung

    Ja

    1. Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar).
    2. Determinante ≠ 0: −7
  3. c) Und a, b und w = (0 | 2 | −2)? (linear unabhängig / linear abhängig)
    Lösung

    linear abhängig

    1. w = −2·a + 2·b
    2. w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.

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