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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Geraden im Raum – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Geraden im Raum Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Geraden im Raum übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Gerade g: X = A + r·u (Aufpunkt A, Richtung u). Lage zweier Geraden: Sind die Richtungen Vielfache, sind sie parallel oder identisch (liegt der Aufpunkt der einen auf der anderen?). Sonst gleichsetzen: eine Lösung ⇒ Schnittpunkt, keine ⇒ windschief.

2. Schritt

Schnittwinkel: cos φ = |u·v| / (|u|·|v|). Abstand paralleler Geraden: |AB × u| / |u|; windschiefer Geraden: |AB · n| / |n| mit n = u × v.

Kurz nachgedacht: u = (1|2|0), v = (−2|−4|0): Die Geraden sind …

parallel oder identisch schneidend oder windschief

Auflösung

parallel oder identisch – v = −2u.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Lage zweier Geraden

g: X = (−1 | 1 | −1) + r · (2 | 2 | −1)

h: X = (1 | 1 | −1) + s · (−1 | 2 | −2)

  1. a) Gegenseitige Lage von g und h? (schneiden sich / parallel (verschieden) / identisch / windschief)
    Lösung

    windschief

    1. Richtungsvektoren (2 | 2 | −1) und (−1 | 2 | −2): keine Vielfachen ⇒ schneidend oder windschief
    2. Gleichsetzen ergibt einen Widerspruch ⇒ windschief.
  2. b) Abstand der windschiefen Geraden (2 Dezimalen)?
    Lösung

    0,5

    1. n = u × v = (−2 | 5 | 6)
    2. d = |AB · n| / |n| = 4 / 8,062 ≈ 0,5

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