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Mathe · FOS 12 · mit Lösungen

Ebenen im Raum – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Ebenen im Raum Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Ebenen im Raum übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Ebene durch A, B, C: Normalenvektor n = AB × AC, dann Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit d = n · A. Jedes Vielfache der Gleichung beschreibt dieselbe Ebene. Spurpunkte: zwei Koordinaten 0 setzen.

2. Schritt

Schnitt Gerade–Ebene: die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen, r ausrechnen, Punkt bestimmen. Abstand Punkt–Ebene (Hesse): |n·Q − d| / |n|.

Kurz nachgedacht: E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 9. Abstand von O(0|0|0)?

3 9 1

Auflösung

3 – |0 − 9| / √9 = 3.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(0 | 2 | 3), B(0 | 4 | 2) und C(−1 | 0 | 5).

Gerade g: X = (1 | 6 | −4) + r · (0 | 0 | 2); Punkt Q(−3 | 2 | −3)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
    Lösung

    a = 2, b = 1, c = 2, d = 8 (oder ein Vielfaches)

    1. AB = (0 | 2 | −1), AC = (−1 | −2 | 2)
    2. Normalenvektor n = AB × AC = (2 | 1 | 2)
    3. A einsetzen: d = n · A = 8
    4. E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 8
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
    Lösung

    4

    1. x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 8
    2. x₃ = 4
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
    Lösung

    x₁ = 1, x₂ = 6, x₃ = 0

    1. g in E einsetzen: 2·(1 + 0r) + 1·(6 + 0r) + 2·(−4 + 2r) = 8
    2. 4r = 8 ⇒ r = 2
    3. S(1 | 6 | 0)
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?
    Lösung

    6

    1. d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−10 − 8| / √9 ≈ 6

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Baut auf: Skalar- und Vektorprodukt Geraden im Raum

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