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Mathe · FOS 11 · mit Lösungen

Skalar- und Vektorprodukt – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Skalar- und Vektorprodukt Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Skalar- und Vektorprodukt übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Skalarprodukt a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Damit berechnet man Winkel; a·b = 0 heißt senkrecht.

Kurz nachgedacht: (2|1|0)·(1|−2|5) = ?

0 5 4

Auflösung

0 – 2 − 2 + 0 = 0.

2. Schritt

Vektorprodukt a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁) steht senkrecht auf a und b. Sein Betrag ist die Fläche des Parallelogramms; das Dreieck hat die Hälfte.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−1 | −2 | −2), B(1 | −1 | −1) und C(2 | 1 | −2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
    Lösung

    9

    1. AB = (2 | 1 | 1), AC = (3 | 3 | 0)
    2. AB · AC = 2·3 + 1·3 + 1·0 = 9
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
    Lösung

    30

    1. cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 9 / (2,449·4,243)
    2. α ≈ 30°
  3. c) Berechne AB × AC.
    Lösung

    x₁ = −3, x₂ = 3, x₃ = 3

    1. Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁)
    2. = (−3 | 3 | 3)
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
    Lösung

    2,6

    1. A = ½ · |AB × AC| = ½ · √27 ≈ 2,6
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?
    Lösung

    −1,5

    1. Skalarprodukt = 0: 2k + 1 + 2 = 0
    2. k = −1,5

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