Produkt- und Kettenregel – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Kurvendiskussion mit e-Funktion

Gegeben ist f(x) = (x + 2) · eˣ.

1. a) Nullstelle von f?
   Lösung

   −2

   1. eˣ ist nie 0 ⇒ nur der Faktor (x − a) kann 0 werden.
   2. x = −2
2. b) Erste Ableitung (Produktregel)?
   Lösung

   (x + 3)·eˣ

   1. (u·v)' = u'·v + u·v' mit u = x − a, v = eˣ
   2. f'(x) = 1·eˣ + (x + 2)·eˣ = (x + 3)·eˣ
3. c) Extrempunkt (Tiefpunkt) T?
   Lösung

   x = −3, y = −0,05

   1. f'(x) = 0 ⇔ x = −3
   2. f(−3) = −e⁻³ ≈ −0,05
4. d) Wendestelle?
   Lösung

   −4

   1. f''(x) = (x + 4)·eˣ = 0
   2. x = −4
5. e) Verhalten für x → −∞? (f(x) → 0 (Asymptote y = 0) / f(x) → −∞ / f(x) → +∞)
   Lösung

   f(x) → 0 (Asymptote y = 0)

   1. eˣ geht schneller gegen 0, als (x − a) gegen −∞ geht ⇒ f(x) → 0 (von unten).

Aufgabe: Medikament im Blut

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (mg/l) x Stunden nach der Einnahme ist c(x) = 20x · e^−0,2x.

1. a) Erste Ableitung c'(x)?
   Lösung

   20·e^−0,2x·(1 − 0,2x)

   1. Produktregel: c'(x) = 20·e^−0,2x + 20x·(−0,2)·e^−0,2x
   2. = 20·e^−0,2x·(1 − 0,2x)
2. b) Wann ist die Konzentration am höchsten (Stunden)?
   Lösung

   5

   1. 1 − 0,2x = 0 ⇒ x = 5
3. c) Höchste Konzentration (mg/l, 2 Dezimalen)?
   Lösung

   36,79

   1. c(5) = 20·5·e⁻¹ ≈ 36,79
4. d) Konzentration nach 10 Stunden (2 Dezimalen)?
   Lösung

   27,07

   1. c(10) = 200 · e⁻² ≈ 27,07

Übungsaufgaben

1. f(x) = (2x + 3)·e^2x. Berechne f'(0).
   Lösung

   8

   1. f'(x) = 2·e^2x + (2x + 3)·2·e^2x
   2. f'(0) = 2·1 + 3·2·1 = 8
2. f(x) = (x + 2)·e^x. Berechne f'(0).
   Lösung

   3

   1. f'(x) = 1·e^x + (x + 2)·1·e^x
   2. f'(0) = 1·1 + 2·1·1 = 3
3. f(x) = (x + 1)·e^−x. Bilde f'(x).
   Lösung

   f'(x) = (−x)·e^−x

   1. u = x + 1, u' = 1; v = e^−x, v' = −1·e^−x
   2. f'(x) = 1·e^−x + (x + 1)·−1·e^−x
   3. = (−x)·e^−x
4. f(x) = (2x − 3)·e^−x. Bilde f'(x).
   Lösung

   f'(x) = (−2x + 5)·e^−x

   1. u = 2x − 3, u' = 2; v = e^−x, v' = −1·e^−x
   2. f'(x) = 2·e^−x + (2x − 3)·−1·e^−x
   3. = (−2x + 5)·e^−x
5. f(x) = (−2x)·e^−x. Bilde f'(x).
   Lösung

   f'(x) = (2x − 2)·e^−x

   1. u = −2x, u' = −2; v = e^−x, v' = −1·e^−x
   2. f'(x) = −2·e^−x + (−2x)·−1·e^−x
   3. = (2x − 2)·e^−x
6. f(x) = (4x + 2)·e^2x. Bestimme die Extremstelle x.
   Lösung

   −1

   1. f'(x) = 4·e^2x + (4x + 2)·2·e^2x
   2. = e^2x·(8x + 8)
   3. e^2x ≠ 0 ⇒ 8x + 8 = 0 ⇒ x = −1