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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Integrationsverfahren – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Integrationsverfahren Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Integrationsverfahren übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Partielle Integration – die Produktregel rückwärts: ∫ u·v′ dx = u·v − ∫ u′·v dx. Wähle u so, dass es beim Ableiten einfacher wird (bei x·eˣ: u = x). ∫ ln x dx: u = ln x, v′ = 1 ⇒ x·ln x − x.

2. Schritt

Substitution: Steht die Ableitung des Inneren als Faktor da, ersetzt man z = inneres: ∫ 2x·(x² + 1)³ dx = (x² + 1)⁴/4. Partialbruchzerlegung: (px + q)/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b), A und B durch Einsetzen von x = a und x = b.

Kurz nachgedacht: ∫ 2x/(x² + 5) dx = ?

ln(x² + 5) + C 2 ln x + C (x² + 5)² + C

Auflösung

ln(x² + 5) + C – Zähler = Ableitung des Nenners.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Partielle Integration

Gegeben ist f(x) = x · e0,5x.

  1. a) Eine Stammfunktion (partielle Integration)?
    Lösung

    (x/0,5 − 4)·e0,5x

    1. ∫ u·v' = u·v − ∫ u'·v mit u = x, v' = ekx
    2. v = e0,5x/0,5
    3. F(x) = x·e0,5x/0,5 − ∫ e0,5x/0,5 dx = (x/0,5 − 4)·e0,5x
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (3 Dezimalen)?
    Lösung

    0,703

    1. F(1) − F(0) = −3,2974 − (−4) ≈ 0,703

Aufgabe: Substitution und f'/f

(1) f(x) = 2x · (x² + 2)3

(2) g(x) = 2x / (x² + 2)

(3) h(x) = ln(x)

  1. a) Stammfunktion von f (Substitution z = x² + c)?
    Lösung

    (x² + 2)4 / 4

    1. z = x² + 2, dz = 2x dx
    2. ∫ z3 dz = z4/4
  2. b) Stammfunktion von g?
    Lösung

    ln(x² + 2)

    1. Im Zähler steht die Ableitung des Nenners: ∫ f'/f = ln|f|
    2. G(x) = ln(x² + 2)
  3. c) ∫ von 1 bis e h(x) dx?
    Lösung

    1

    1. Partiell mit u = ln x, v' = 1: H(x) = x·ln x − x
    2. H(e) − H(1) = (e − e) − (0 − 1) = 1
  4. d) ∫ von 0 bis 1 g(x) dx (3 Dezimalen)?
    Lösung

    0,405

    1. ln(1 + 2) − ln(2) = ln(1,5) ≈ 0,405

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