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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Differenzialgleichungen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Differenzialgleichungen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Differenzialgleichungen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Eine Differenzialgleichung verknüpft eine Funktion mit ihrer Ableitung. y′ = k·y: Die Änderung ist proportional zum Bestand – Lösung y = C·e^(kx). Die Anfangsbedingung legt C fest.

2. Schritt

Trennung der Variablen: y′ = g(x)·h(y) ⇒ dy/h(y) = g(x) dx, beide Seiten integrieren, nach y auflösen. Abkühlung T′ = −k(T − T_U) ⇒ T(x) = T_U + (T₀ − T_U)·e^(−kx).

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Newtonsches Abkühlungsgesetz

Für die Temperatur T(x) (°C, x in min) einer Tasse Tee gilt T'(x) = −k · (T(x) − 20). Zu Beginn hat der Tee 100 °C, nach 5 Minuten 75 °C.

  1. a) Welche Funktion löst die Differenzialgleichung? (T(x) = 20 + 80·e^(−kx) / T(x) = 100·e^(−kx) / T(x) = 20 − 80·e^(kx))
    Lösung

    T(x) = 20 + 80·e−kx

    1. Trennung der Variablen: dT/(T − 20) = −k dx ⇒ ln|T − 20| = −kx + C
    2. T(x) = 20 + C·e−kx, T(0) = 100 ⇒ C = 80
  2. b) Bestimme k (4 Dezimalen).
    Lösung

    0,0749

    1. 20 + 80·e−5k = 75 ⇒ e−5k = 0,6875
    2. k = −ln(0,6875) / 5 ≈ 0,0749
  3. c) Temperatur nach 30 Minuten (1 Dezimale)?
    Lösung

    28,4

    1. T(30) = 20 + 80·e−0,0749·30 ≈ 28,4
  4. d) Wann ist der Tee auf 40 °C abgekühlt (min, 1 Dezimale)?
    Lösung

    18,5

    1. e−kx = 20/80
    2. x = −ln(0,25) / k ≈ 18,5

Aufgabe: Trennung der Variablen

Gesucht ist die Lösung der Differenzialgleichung y' = 1·x·y mit y(0) = 1.

  1. a) Lösung y(x)?
    Lösung

    1·e0,5x²

    1. dy/y = 1x dx
    2. ln|y| = 0,5x² + C
    3. y = K·e0,5x², y(0) = 1 ⇒ K = 1
  2. b) y(1) (3 Dezimalen)?
    Lösung

    1,649

    1. y(1) = 1·e0,5 ≈ 1,649
  3. c) y'(1) aus der Differenzialgleichung (3 Dezimalen)?
    Lösung

    1,649

    1. y'(1) = 1·1·y(1) ≈ 1,649

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