Wachstum und Zerfall – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Abkühlung

Ein Getränk kühlt ab. Seine Temperatur in °C nach x Minuten ist T(x) = 20 + 70 · e^−0,1x.

1. a) Anfangstemperatur T(0)?
   Lösung

   90

   1. T(0) = 20 + 70 · e⁰ = 90
2. b) Temperatur nach 15 Minuten (1 Dezimale)?
   Lösung

   35,6

   1. T(15) = 20 + 70 · e^−1,5 ≈ 35,6
3. c) Nach wie vielen Minuten ist das Getränk auf 40 °C abgekühlt (2 Dezimalen)?
   Lösung

   12,53

   1. 20 + 70e^−0,1x = 40 ⇒ e^−0,1x = 0,2857
   2. x = ln(0,2857) / (−0,1) ≈ 12,53
4. d) Momentane Änderungsrate zu Beginn T'(0) (°C pro Minute)?
   Lösung

   −7

   1. T'(x) = −0,1 · 70 · e^−0,1x
   2. T'(0) = −7
5. e) Welcher Temperatur nähert sich das Getränk langfristig?
   Lösung

   20

   1. Für x → ∞ geht e^−kx → 0 ⇒ T → 20 (waagrechte Asymptote y = 20).

Aufgabe: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell: N(x) = N₀ · e^kx, x in Stunden. Zu Beginn sind es 500, nach 4 Stunden 911 Bakterien.

1. a) Bestimme k (4 Dezimalen).
   Lösung

   0,15

   1. 500 · e^4k = 911 ⇒ e^4k = 1,822
   2. k = ln(1,822) / 4 ≈ 0,15
2. b) Wie viele Bakterien sind es nach 9 Stunden (ganze Zahl)?
   Lösung

   1928,4298

   1. N(9) = 500 · e^0,15·9 ≈ 1928
3. c) Verdopplungszeit (Stunden, 2 Dezimalen)?
   Lösung

   4,62

   1. e^kx = 2 ⇒ x = ln 2 / k
   2. = 4,62
4. d) Wachstumsgeschwindigkeit N'(4) (Bakterien pro Stunde)?
   Lösung

   136,6352

   1. N'(x) = k · N(x) ⇒ N'(4) = 0,15 · 911 ≈ 136,6

Übungsaufgaben

1. B(t) = 100·e^0,05t. Berechne B(3) (auf ganze Zahlen gerundet).
   Lösung

   116

   1. k·t = 0,05·3 = 0,15
   2. e⁰,15 ≈ 1,1618
   3. B(3) = 100·1,1618 ≈ 116
2. B(t) = 500·e^−0,2t. Berechne B(9) (auf ganze Zahlen gerundet).
   Lösung

   83

   1. k·t = −0,2·9 = −1,8
   2. e⁻¹,8 ≈ 0,1653
   3. B(9) = 500·0,1653 ≈ 83
3. B(t) = 100·e^−0,2t. Berechne B(3) (auf ganze Zahlen gerundet).
   Lösung

   55

   1. k·t = −0,2·3 = −0,6
   2. e⁻⁰,6 ≈ 0,5488
   3. B(3) = 100·0,5488 ≈ 55
4. B(t) = 100·e^0,2t. Berechne B(6) (auf ganze Zahlen gerundet).
   Lösung

   332

   1. k·t = 0,2·6 = 1,2
   2. e¹,2 ≈ 3,3201
   3. B(6) = 100·3,3201 ≈ 332
5. B(t) = 1000·e^−0,2t. Berechne B(9) (auf ganze Zahlen gerundet).
   Lösung

   165

   1. k·t = −0,2·9 = −1,8
   2. e⁻¹,8 ≈ 0,1653
   3. B(9) = 1000·0,1653 ≈ 165
6. Ein Medikament wird nach c(t) = c₀·e^−0,1t abgebaut (t in Stunden). Nach wie vielen Stunden ist nur noch die Hälfte da? (2 Dezimalen)
   Lösung

   6,93

   1. c₀·e^−0,1t = 0,5·c₀ ⇒ e^−0,1t = 0,5
   2. −0,1t = ln 0,5 = −ln 2
   3. t = ln 2 ÷ 0,1 ≈ 6,93