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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Logarithmusfunktion – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Logarithmusfunktion Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Logarithmusfunktion übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

ln x ist nur für x > 0 definiert, ln 1 = 0, und für x → 0⁺ geht ln x → −∞ (senkrechte Asymptote). Bei f(x) = a·ln(bx + c) + d verschieben und strecken die Parameter.

2. Schritt

Ableitung: (ln x)′ = 1/x, mit Kettenregel (ln g(x))′ = g′(x)/g(x). Umgekehrt: ∫ g′/g dx = ln|g(x)|.

Kurz nachgedacht: (ln(3x + 1))′ = ?

3/(3x + 1) 1/(3x + 1) 3/x

Auflösung

3/(3x + 1) – Innere Ableitung 3.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Logarithmusfunktion

Gegeben ist f(x) = −ln(x − 3)

  1. a) Definitionsmenge D = ]u; ∞[: u = ?
    Lösung

    3

    1. ln braucht ein positives Argument: x − 3 > 0
    2. x > 3
  2. b) Nullstelle (3 Dezimalen)?
    Lösung

    4

    1. −1·ln(x − 3) = 0 ⇒ ln(x − 3) = 0
    2. x − 3 = e0 ⇒ x = 4
  3. c) Erste Ableitung?
    Lösung

    −1 / (x − 3)

    1. (ln(g(x)))' = g'(x) / g(x)
    2. f'(x) = −1 · 1 / (x − 3)
  4. d) Steigung an der Stelle x = 4?
    Lösung

    −1

    1. x − 3 = 1 an dieser Stelle
    2. f'(4) = −1/1 = −1
  5. e) Verhalten für x → 3 (von rechts)? (f(x) → −∞ / f(x) → +∞ / f(x) → 0)
    Lösung

    f(x) → +∞

    1. ln(z) → −∞ für z → 0⁺
    2. Negativer Faktor ⇒ f → +∞ (senkrechte Asymptote).

Aufgabe: f(x) = ln(x) / x

Gegeben ist f(x) = ln(x) / x, x > 0.

  1. a) Nullstelle?
    Lösung

    1

    1. ln x = 0 ⇒ x = 1
  2. b) Erste Ableitung (Quotientenregel)?
    Lösung

    (1 − ln x) / x²

    1. ((1/x)·x − ln x · 1) / x² = (1 − ln x) / x²
  3. c) Hochpunkt H (3 Dezimalen)?
    Lösung

    x = 2,718, y = 0,368

    1. 1 − ln x = 0 ⇒ x = e ≈ 2,718
    2. f(e) = 1/e ≈ 0,368
  4. d) Waagrechte Asymptote für x → ∞: y = ?
    Lösung

    0

    1. x wächst schneller als ln x ⇒ ln x / x → 0

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