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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Integralfunktion – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Integralfunktion Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Integralfunktion übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Das Integral ist der Grenzwert von Ober- und Untersummen: Rechtecke unter bzw. über dem Graphen. Je feiner, desto näher am exakten Wert.

2. Schritt

Integralfunktion I_a(x) = ∫ von a bis x f(t) dt: I_a(a) = 0 und I′_a(x) = f(x) (Hauptsatz). Extremstellen von I sind Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel.

Kurz nachgedacht: I(x) = ∫ von 2 bis x f(t) dt. I(2) = ?

0 f(2) 2

Auflösung

0 – Gleiche Grenzen ⇒ 0.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Ober- und Untersumme

f(x) = x² auf [0; 1], unterteilt in 4 gleich breite Streifen.

  1. a) Untersumme U₄ (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,2188

    1. Breite 0,25, Höhen am linken Rand: f(0), f(0,25), f(0,5), f(0,75)
    2. U₄ = 0,25 · (0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625) = 0,2188
  2. b) Obersumme O₄ (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,4688

    1. Höhen am rechten Rand (f steigt)
    2. O₄ = 0,25 · (0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1) = 0,4688
  3. c) Exakter Wert des Integrals (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,3333

    1. ∫ von 0 bis 1 x² dx = 1³/3 = 0,3333
    2. Er liegt zwischen U₄ und O₄.

Aufgabe: Integralfunktion

Gegeben ist die Integralfunktion I(x) = ∫ von 1 bis x (2t − 6) dt.

  1. a) Gib I(x) ohne Integralzeichen an.
    Lösung

    x² − 6x + 5

    1. Stammfunktion t² − 6t
    2. I(x) = [t² − 6t] von 1 bis x = x² − 6x + 5
  2. b) Nullstellen von I?
    Lösung

    1; 5

    1. I(1) = 0 immer (gleiche Grenzen)
    2. x² − 6x + 5 = 0 ⇒ x = 1 oder x = 5
  3. c) Wo hat I einen Extrempunkt (x-Wert)?
    Lösung

    3

    1. I'(x) = f(x) = 2x − 6
    2. = 0 ⇒ x = 3

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