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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Rotationskörper – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Rotationskörper Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Rotationskörper übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Rotiert der Graph von f zwischen a und b um die x-Achse, entsteht ein Körper aus lauter dünnen Scheiben mit Radius f(x): V = π · ∫ von a bis b f(x)² dx.

2. Schritt

Mit f(x) = (r/h)·x von 0 bis h ergibt sich genau die Kegelformel V = ⅓πr²h.

Kurz nachgedacht: f(x) = 2 (konstant), 0 ≤ x ≤ 3: Körper?

Zylinder mit V = 12π Kegel mit V = 4π Kugel

Auflösung

Zylinder mit V = 12π – π · 2² · 3 = 12π.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Rotationskörper

(1) Der Graph von f(x) = √(4x) rotiert für 0 ≤ x ≤ 4 um die x-Achse.

(2) Die Gerade g(x) = 0,5x rotiert für 0 ≤ x ≤ 4 um die x-Achse (Kegel).

  1. a) Integrand π·f(x)² ohne Wurzel?
    Lösung

    4πx

    1. (√(4x))² = 4x
  2. b) Volumen von Körper (1) (2 Dezimalen)?
    Lösung

    100,53

    1. V = π ∫ von 0 bis 4 4x dx = π · 4 · 4²/2 = 32π ≈ 100,53
  3. c) Volumen des Kegels (2) (2 Dezimalen)?
    Lösung

    16,76

    1. V = π ∫ von 0 bis 4 (0,5x)² dx = π · 0,25 · 4³/3
    2. = π·2²·4/3 ≈ 16,76 – die Kegelformel ⅓πr²h

Aufgabe: Rotation einer e-Funktion

Der Graph von f(x) = e0,5x rotiert für 0 ≤ x ≤ 1 um die x-Achse.

  1. a) π·f(x)² = ?
    Lösung

    π·e1x

    1. (e0,5x)² = e1x
  2. b) Rotationsvolumen (2 Dezimalen)?
    Lösung

    5,4

    1. V = π ∫ von 0 bis 1 e1x dx = π · (e1 − 1) / 1
    2. ≈ 5,4

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