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Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Umkehrfunktionen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Umkehrfunktionen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Umkehrfunktionen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Eine streng monotone Funktion hat eine Umkehrfunktion: y = f(x) nach x auflösen, dann x und y tauschen. D(f⁻¹) = W(f), W(f⁻¹) = D(f). Der Graph ist an y = x gespiegelt.

2. Schritt

arctan ist die Umkehrung von tan auf ]−π/2; π/2[. Wichtig: (arctan x)′ = 1/(1 + x²), also ∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C.

Kurz nachgedacht: arctan(1) = ?

π/4 π/2 1

Auflösung

π/4 – tan(π/4) = 1.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Umkehrfunktion einer e-Funktion

Gegeben ist f(x) = 3e0,5x + 1, D = ℝ.

  1. a) Wertemenge W = ]w; ∞[: w = ?
    Lösung

    1

    1. ekx > 0 ⇒ f(x) > 1
  2. b) Term der Umkehrfunktion?
    Lösung

    ln((x − 1)/3) / 0,5

    1. y = 3e0,5x + 1 nach x auflösen
    2. e0,5x = (y − 1)/3 ⇒ x = ln((y − 1)/3) / 0,5
    3. x und y tauschen.
  3. c) f⁻¹(10) (3 Dezimalen)?
    Lösung

    2,197

    1. ln(3) / 0,5 ≈ 2,197
  4. d) Wie liegen die Graphen von f und f⁻¹ zueinander? (spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden y = x / spiegelbildlich zur x-Achse / spiegelbildlich zur y-Achse)
    Lösung

    spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden y = x

    1. Beim Umkehren werden x und y vertauscht ⇒ Spiegelung an y = x.

Aufgabe: Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion

Gegeben ist f(x) = √(x − 1) − 2, x ≥ 1.

  1. a) Wertemenge W = [w; ∞[: w = ?
    Lösung

    −2

    1. √(…) ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ −2
  2. b) Term der Umkehrfunktion?
    Lösung

    (x + 2)² + 1

    1. y + 2 = √(x − 1) ⇒ (y + 2)² = x − 1
    2. x = (y + 2)² + 1; tauschen
  3. c) Kleinstes x, für das f⁻¹ definiert ist?
    Lösung

    −2

    1. D(f⁻¹) = W(f)
  4. d) ∫ von 0 bis 1 von 4/(1 + x²) dx (4 Dezimalen; arctan ist die Umkehrung von tan)?
    Lösung

    3,1416

    1. Stammfunktion von 1/(1 + x²) ist arctan x
    2. 4·(arctan 1 − arctan 0) = 4 · π/4 = π

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