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Mathe · Klasse 10 · FOS-Vorklasse · mit Lösungen

Dreieckslehre – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Dreieckslehre Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

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So funktioniert’s

1. Schritt

Im rechtwinkligen Dreieck: Pythagoras a² + b² = c² (c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel). sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete. Ziehe am Winkel.

2. Schritt

Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Fehlende Winkel bekommt man also oft ohne Trigonometrie. Für die Höhe auf die Hypotenuse: A = ½·a·b = ½·c·h_c.

Kurz nachgedacht: Katheten 6 und 8. Hypotenuse?

10 14 48

Auflösung

10 – √(36 + 64) = √100.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Rechtwinkliges Dreieck

Im Dreieck ABC ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Die Katheten sind a = 16 cm und b = 30 cm lang.

  1. a) Länge der Hypotenuse c (in cm)?
    Lösung

    34

    1. Satz des Pythagoras: c² = a² + b²
    2. c = √(256 + 900) = √1156 = 34
  2. b) Winkel α bei A (in Grad, 1 Dezimale)?
    Lösung

    28,1

    1. α liegt bei A: Gegenkathete a, Ankathete b.
    2. tan α = a / b = 16 / 30
    3. α = tan⁻¹(0,5333) ≈ 28,1°
  3. c) Winkel β bei B (in Grad)?
    Lösung

    61,9

    1. Winkelsumme: β = 180° − 90° − 28,1° = 61,9°
  4. d) Flächeninhalt (in cm²)?
    Lösung

    240

    1. A = ½ · a · b = ½ · 16 · 30 = 240
  5. e) Höhe h_c auf die Hypotenuse (in cm)?
    Lösung

    14,12

    1. A = ½ · c · h_c ⇒ h_c = 2A / c = 480 / 34 = 14,12

Aufgabe: Leiter an der Wand

Eine 8 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Sie bildet mit dem Boden einen Winkel von 35°.

  1. a) In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand (in m)?
    Lösung

    4,59

    1. sin 35° = Höhe / Leiterlänge
    2. Höhe = 8 · sin 35° ≈ 4,59 m
  2. b) Wie weit steht der Fuß der Leiter von der Wand weg (in m)?
    Lösung

    6,55

    1. cos 35° = Abstand / Leiterlänge
    2. Abstand = 8 · cos 35° ≈ 6,55 m
  3. c) Wie hoch reicht die Leiter, wenn der Winkel auf 75° vergrößert wird (in m)?
    Lösung

    7,73

    1. 8 · sin 75° ≈ 7,73 m

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