EnglishKostenlos starten

Mathe · FOS 13 · mit Lösungen

Uneigentliche Integrale – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Uneigentliche Integrale Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Uneigentliche Integrale übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Stammfunktion von (mx + t)⁻ⁿ (n ≠ 1): (mx + t)^(1−n) / (m·(1 − n)). Beispiel: 1/x² = x⁻² hat die Stammfunktion −1/x.

2. Schritt

Uneigentliches Integral: obere Grenze b, dann b → ∞. ∫ von 1 bis ∞ von 1/x² dx = lim (1 − 1/b) = 1 – eine unendlich lange Fläche mit endlichem Inhalt. Bei 1/x divergiert es (ln b → ∞). Schiebe die Grenze b.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Uneigentliches Integral

Gegeben ist f(x) = 3 / (x + 2)² für x > −2.

  1. a) Eine Stammfunktion F von f?
    Lösung

    −3 / (x + 2)

    1. f(x) = 3·(x + 2)−2
    2. F(x) = 3·(x + 2)−1 / (−1) = −3/(x + 2)
  2. b) ∫ von −1 bis 1 f(x) dx (3 Dezimalen)?
    Lösung

    2

    1. F(1) − F(−1) = −3/3 + 3/1 = 2
  3. c) Uneigentliches Integral ∫ von −1 bis ∞ f(x) dx?
    Lösung

    3

    1. ∫ von −1 bis b = 3 − 3/(b + 2)
    2. b → ∞: 3/(b + 2) → 0 ⇒ Wert 3
  4. d) Und ∫ von 1 bis ∞ von 1/x dx? (existiert nicht (divergiert) / ist 1 / ist 0)
    Lösung

    existiert nicht (divergiert)

    1. Stammfunktion ln x, und ln b → ∞ für b → ∞.

Aufgabe: Stammfunktion von (mx + t)^(−n)

Gegeben ist f(x) = 1 / (4x + 3)3.

  1. a) Eine Stammfunktion F?
    Lösung

    1 / (−8·(4x + 3)2)

    1. (mx + t)−3 → (mx + t)−2 / (−2 · 4)
    2. Innere Ableitung m: durch m teilen (lineare Substitution).
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,0113

    1. F(1) − F(0) ≈ −0,00255 − (−0,01389) ≈ 0,0113
  3. c) ∫ von 0 bis ∞ f(x) dx (4 Dezimalen)?
    Lösung

    0,0139

    1. F(b) → 0 für b → ∞
    2. Wert: 0 − F(0) = 0,0139

Passende Themen

Baut auf: Integrale Gebrochen-rationale Funktionen

Jetzt selbst rechnen

Kostenlos, ohne Werbung, direkt im Browser – mit Rechenblatt, das jeden Schritt prüft.

Aufgaben üben