Gebrochen-rationale Funktionen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Aufgabe: Gebrochen-rationale Funktion

Gegeben ist f(x) = (−3x − 5) / (x − 1).

1. a) Definitionslücke von f?
   Lösung

   1

   1. Nenner = 0: x − 1 = 0 ⇒ x = 1
2. b) Art der Definitionslücke? (Polstelle mit Vorzeichenwechsel / Polstelle ohne Vorzeichenwechsel / hebbare Definitionslücke)
   Lösung

   Polstelle mit Vorzeichenwechsel

   1. Der Zähler ist bei x = 1 nicht 0: −8 ≠ 0 ⇒ Polstelle.
   2. Der Faktor (x − c) steht in der 1. Potenz ⇒ Vorzeichenwechsel.
3. c) Waagrechte Asymptote: y = ?
   Lösung

   −3

   1. Zählergrad = Nennergrad ⇒ y = Quotient der Leitkoeffizienten
   2. y = −3/1 = −3
4. d) Nullstelle von f (3 Dezimalen)?
   Lösung

   −1,667

   1. Zähler = 0: −3x − 5 = 0 ⇒ x = −1,667
5. e) Ableitung mit der Quotientenregel?
   Lösung

   8 / (x − 1)²

   1. (u/v)' = (u'v − uv') / v²
   2. f'(x) = (−3·(x − 1) − (−3x − 5)·1) / (x − 1)²
   3. = 8 / (x − 1)²
6. f) Monotonie von f? (auf beiden Teilen von D streng monoton steigend / auf beiden Teilen von D streng monoton fallend)
   Lösung

   auf beiden Teilen von D streng monoton steigend

   1. f'(x) = 8 / (x − 1)²: der Nenner ist immer positiv
   2. f'(x) > 0 ⇒ steigend

Aufgabe: Schiefe Asymptote (Polynomdivision)

Gegeben ist f(x) = (x² − x − 6) / (x − 1).

1. a) Nullstellen von f?
   Lösung

   −2; 3

   1. Zähler = 0: x² − x − 6 = 0
   2. x = −2 oder x = 3 (beide ≠ 1)
2. b) Polstelle?
   Lösung

   1

   1. Nenner x − 1 = 0 ⇒ x = 1
3. c) Schiefe Asymptote y = mx + t?
   Lösung

   m = 1, t = 0

   1. Polynomdivision: (x² − x − 6) : (x − 1) = x + 0 Rest −6
   2. f(x) = x + 0 + −6/(x − 1)
   3. Asymptote: y = x + 0
4. d) Liegt der Graph für x → +∞ oberhalb oder unterhalb der Asymptote? (oberhalb / unterhalb)
   Lösung

   unterhalb

   1. Abstand zur Asymptote: −6/(x − 1)
   2. Für große x ist der Nenner positiv ⇒ Vorzeichen von −6 entscheidet.

Übungsaufgaben

1. f(x) = (3x) / (x + 1). Bestimme die senkrechte Asymptote x = ?
   Lösung

   −1

   1. Nenner = 0: x + 1 = 0 ⇒ x = −1
   2. Zähler bei x = −1: −3 ≠ 0 ⇒ Polstelle
2. f(x) = (3x + 2) / (x − 3). Bestimme die senkrechte Asymptote x = ?
   Lösung

   3

   1. Nenner = 0: x − 3 = 0 ⇒ x = 3
   2. Zähler bei x = 3: 11 ≠ 0 ⇒ Polstelle
3. f(x) = (3x) / (x − 3). Bestimme die senkrechte Asymptote x = ?
   Lösung

   3

   1. Nenner = 0: x − 3 = 0 ⇒ x = 3
   2. Zähler bei x = 3: 9 ≠ 0 ⇒ Polstelle
4. f(x) = (2x + 2) / (x − 5). Bestimme die waagrechte Asymptote y = ?
   Lösung

   2

   1. Zählergrad = Nennergrad = 1
   2. y = 2 ÷ 1 = 2
5. f(x) = (4x − 1) / (x + 4). Bestimme die senkrechte Asymptote x = ?
   Lösung

   −4

   1. Nenner = 0: x + 4 = 0 ⇒ x = −4
   2. Zähler bei x = −4: −17 ≠ 0 ⇒ Polstelle
6. f(x) = (x + 6) / (x + 5). Bestimme die senkrechte Asymptote x = ?
   Lösung

   −5

   1. Nenner = 0: x + 5 = 0 ⇒ x = −5
   2. Zähler bei x = −5: 1 ≠ 0 ⇒ Polstelle