EnglishKostenlos starten

Mathe · Klasse 10 · FOS-Vorklasse · mit Lösungen

Gleichungen und Ungleichungen – einfach erklärt, mit Aufgaben und Lösungen

Hier lernst du Gleichungen und Ungleichungen Schritt für Schritt. In der App gibt es dazu eine interaktive Erklärung zum Ausprobieren und unendlich viele neue Aufgaben mit Lösungsweg.

Gleichungen und Ungleichungen übenAlle Mathe-Themen

So funktioniert’s

1. Schritt

Quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0: Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet. D > 0: zwei Lösungen, D = 0: eine, D < 0: keine. Lösungen: x = (−b ± √D) / (2a). Der Graph zeigt die Lösungen als Nullstellen.

2. Schritt

Bruchgleichungen: erst die Definitionsmenge (Nenner ≠ 0), dann mit dem Hauptnenner multiplizieren. Lösungen, die nicht in D liegen, fallen weg.

3. Schritt

Ungleichungen löst man wie Gleichungen – aber beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen um.

Kurz nachgedacht: −2x < 6 ⇔ ?

x > −3 x < −3 x > 3

Auflösung

x > −3 – Durch −2 teilen dreht < zu >.

Aufgaben mit Lösungen

Tippe auf „Lösung“, um den Rechenweg zu sehen. In der App bekommst du jedes Mal neue Zahlen.

Aufgabe: Gleichungen lösen

Gegeben sind die Gleichungen

(1) 4(x + 4) − 5 = x + 2

(2) x² + x − 2 = 0

(3) x + 10/x = 7

  1. a) Löse Gleichung (1): x = ?
    Lösung

    −3

    1. Klammer auflösen: 4x + 11 = x + 2
    2. x-Terme nach links, Zahlen nach rechts: 3x = −9
    3. x = −3
  2. b) Berechne die Diskriminante von Gleichung (2).
    Lösung

    9

    1. D = b² − 4ac = (1)² − 4·1·(−2) = 9
  3. c) Gib die Lösungsmenge von Gleichung (2) an.
    Lösung

    −2; 1

    1. D = 9 > 0 ⇒ zwei Lösungen
    2. x = (−b ± √D) / 2a = (−1 ± 3) / 2
    3. x₁ = −2, x₂ = 1
  4. d) Welche Zahl gehört bei Gleichung (3) nicht zur Definitionsmenge?
    Lösung

    0

    1. Der Nenner x darf nicht 0 werden: D = ℝ \ {0}.
  5. e) Löse Gleichung (3).
    Lösung

    2; 5

    1. Mit x multiplizieren: x² + 10 = 7x
    2. x² − 7x + 10 = 0
    3. Lösungen: x₁ = 2, x₂ = 5 (beide ≠ 0)

Aufgabe: Ungleichung und Tarifvergleich

(1) 3x − 8 > x + 9

(2) Handytarif A: 32 € Grundgebühr + 6 € pro GB. Tarif B: 10 € Grundgebühr + 10 € pro GB.

  1. a) Lösungsmenge von Ungleichung (1)? (x < 8,5 / x > 8,5 / x ≤ 8,5)
    Lösung

    x > 8,5

    1. 3x − (1x) > 9 − (−8)
    2. 2x > 17
    3. Durch 2 teilen.
    4. x > 8,5
  2. b) Ab wie vielen GB sind beide Tarife gleich teuer?
    Lösung

    5,5

    1. 32 + 6x = 10 + 10x
    2. 22 = 4x
    3. x = 5,5
  3. c) Welcher Tarif ist bei 7 GB günstiger? (Tarif A / Tarif B)
    Lösung

    Tarif A

    1. A: 32 + 6·7 = 74 €
    2. B: 10 + 10·7 = 80 €

Passende Themen

Baut auf: Gleichungen Terme, Potenzen, Wurzeln

Weiter mit: Gerade und Parabel

Jetzt selbst rechnen

Kostenlos, ohne Werbung, direkt im Browser – mit Rechenblatt, das jeden Schritt prüft.

Aufgaben üben